带梯度项的方程
在p, q非负的时候被广泛研究，当q=0时，该方程的半线性版本即为著名的Lane-Emden方程，在欧氏空间中的临界指标被Gidas，Spruck在《Communications on Pure and Applied Mathematics》(1981)完全解决，拟线性的Lane-Emden方程临界指标则由美国科学院院士Serrin与其合作者在《Acta Mathematica》(2002)年解决。当p=0时，该方程就是著名的Hamilton-Jacobi方程，半线性情形时解的存在性最早由菲尔兹奖获得者P.-L. Lions《Journal d’Analyse Mathématique》(1985)得到，后来由拟线性情形被法国偏微分方程专家Bidaut-Veron等人在《Journal of Functional Analysis》(2014)年得到。对于同时p,q非负且满足一定条件的情形，这方面存在性的结论可参见Bidaut-Veron等人在《Duke Mathematical Journal》(2019)上的工作。以上文献中的工作都只是研究了p,q非负且满足一定条件限制时解的存在性结果，对于一般带符号的p,q即使对于欧氏空间也是未知的。孙玉华与加拿大纽芬兰大学的肖杰教授以及徐帆恒博士建立了非紧完备黎曼流形上带梯度项微分不等式弱解的刘维尔定理的完整分类，这里的p, q可正可负（不加任何条件限制），并且对流形不加任何曲率的限制。孙玉华等人给出了不同p,q下刘维尔定理成立时临界体积增长的形式，发展了一套积分估计及精细的变参数技术克服了梯度项带来的奇性的困难，将p,q分成6个不同的部分，并分别计算出不同情形下的临界体积增长形式，并在特殊流形上给出了超临界时解可能的定量形式。需要指出的是，该结果对流形的假设没有任何曲率的条件，完全是在非常弱的体积条件下建立的，相关成果发表于《Mathematic Annalen》(2022)上。
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