作为从曲率张量中得到的最弱的逐点不变量，数量曲率对流形整体几何与拓扑的影响十分微妙；同时，数量曲率在相对论引力理论中起着能量密度的作用。著名数学家Gromov近年来倡导研究非负数量曲率填充问题，即：给定一个拓扑上可作为边界的闭黎曼流形及其上一个光滑函数h，问何时存在一个数量曲率非负的紧致带边流形，其边界等距同构于给定的闭黎曼流形且平均曲率为h？这是一个纲领性问题，研究此问题，既有助于刻画数量曲率非负的紧致带边流形的边界行为，也有助于理解广义相对论中的拟局部质量。
研究非负数量曲率填充的首要问题，是Gromov提出的延拓问题，即：任给紧致带边流形及其边界上的黎曼度量，问该边界度量能否光滑地延拓成整体的正数量曲率度量？此外，Gromov还提出了一个重要猜想——“平均曲率积分有限性猜想”，即，数量曲率非负的紧致带边流形边界平均曲率的积分有一个只依赖于边界拓扑和度量、而不依赖于内部拓扑和度量的上界。
王文龙与北京大学史宇光教授和中山大学（珠海）魏国栋副教授合作解决了延拓问题，表明单独的边界度量不是填充问题的障碍。并且他们对球面这一最重要情形在平均曲率为正的条件下证实了“平均曲率积分有限性猜想”。他们还发现填充问题可以认为是广义相对论中正质量定理的推广，并给出了正质量定理的一些局部化的等价表述。以填充为桥梁，他们首次发现渐近双曲流形的正质量定理蕴含着渐近平坦流形的正质量定理。相关成果以“Total mean curvature of the boundary and nonnegative scalar curvature fill-ins”为题于2022年1月发表于著名数学期刊Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal)。
文章链接：
https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crelle-2021-0072/html?lang=en
